微积分快速入门3部分:基础

6 改进算术和代数

我们已经直观地看到微积分是如何以循序渐进的观点剖析问题的。现在,我们有了正式的符号,让我们来看看如何将算术和代数提高到一个新的水平。

6.1 更好的乘法和除法

乘法让加法更简单。我们可以把它改写成: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2,而不是像 2 + 2 + 2 + 2 + 2 这样的题目: 2
x 13.

乘法使重复加法变得更容易。但是有一个很大的限制:我们必须使用相同的、平均大小的棋子。现实世界并非如此顺利。微积分能让我们根据实际而非平均值来累积或分离图形:

  • 导数是一种更好的除法,它能将图形沿路径分割(可能分割成不同大小的切片)

  • 积分是一种更好的乘法,它可以累积一连串的步骤(可能是不同大小的步骤)

  • 除法

y x

将整体分割成相同的部分

  • 微分
d d x y

将整体分割成(可能不同的)部分

  • 乘法
    x * y
    累积相同的步骤

  • 积分

y   d x

累积(可能不同的)步骤

让我们再次分析圆环到圆环的例子。算术/代数与微积分相比如何?

6.2 更好的公式

如果微积分提供了更好、更具体的乘除法,难道我们不应该用它来重写公式吗?当然可以。

6.3 更好的代数

代数让我们从一个事实出发,系统地推导出其他事实。想象一下,我想知道一个未知正方形的面积。我无法测量面积,但我无意中听到有人说它的边长是 13.3 英寸。

微积分在代数的基础上又增加了两种运算:积分和导数。现在,我们可以用代数的方法计算圆的面积了:

6.4 学习规则

通过算术,我们学会了组合整数、小数、分数和根式/幂的特殊技巧。尽管 3 + 9 = 12 ,我们也不能假定

3 + 9 = 12

同样,我们需要学习整数/余数在相加、相乘等情况下的运算规则。是的,还有一些特殊类别的花哨规则(如何处理前值、自然对数、正弦、余弦等),但我并不关心这些。让我们先从最基本的开始。

参考资料

7 了解直线的工作原理

让我们先来分析一个相当简单的模式--直线:

f ( x ) = 4 x

7.1 求直线的导数

d d x f ( x )

每增加一英尺围栏,成本就会增加 4 美元。

d f d x = 4 d x d x = 4

7.2 求常数的积分

现在让我们从另一个方向着手:给定步骤序列,我们能否找到原始图案的大小?

d f d x = 4

定积分跟踪设定数量切片的累积。不定积分找到的是创建阶梯模式的实际公式,而不仅仅是该范围内的累积。

7.3 秘密:我们可以逆向思维

积分的小秘密在于我们不需要直接求解积分。我们不必试图把切片粘在一起求面积,而只需学会识别我们已经见过的函数的导数。

如果我们知道 4x 的导数是 4,那么如果有人问 4 的积分,我们就可以回答 “4x”(当然还要加上 C)。

7.4 更好地进行乘法运算

将大小相等的阶数粘在一起看起来就像普通的乘法运算,对吗?没错。如果我们想要 3 个大小为 2 的阶乘(0 到 1,1 到 2,2 到 3),我们可以这样写:

0 3 2   d x = 6

7.5 创建抽象规则

知道线性函数是如何运行的吗?好极了。我们可以制定一些抽象规则--就像为自己制定代数规则一样。

  • 函数
f ( x ) = a x
  • 导数
d d x a x = a
  • 积分
a = a x + C

也就是说,每一步输出与每一步输入的比率是一个常数

8 玩转正方形

我们已经了解了直线的特性:每一步的变化量都相同。现在让我们试试更复杂的函数,比如

f ( x ) = x 2

想象一下,你正在建造一个方形花园,准备在几个月后种植蔬菜和黄瓜。你不知道该把它做多大。太小,食物不够;太大,又会引起蔬菜黑手党的注意。

你的计划是逐步建造花园,一尺一尺地建造,直到看起来合适为止。比方说,你从零开始,建一个 10*10 的地块:

8.1 开始计算

周长为4x

d d x Perimeter = 4

8.2 面积

现在,面积是如何变化的呢?由于正方形比较新颖,让我们用 X 光来观察形状的变化:

https://betterexplained.com/wp-content/uploads/calculus/course/lesson5/square_xray
我们可以像这样写出每次跳跃的大小:

跳转到下一个正方形


同样,可视化的效果很好,但需要付出努力。代数可以简化这一过程。

d f = f ( x + 1 ) f ( x ) = ( x + 1 ) 2 x 2 = ( x 2 + 2 x + 1 ) x 2 = 2 x + 1

8.3 总结

d d x x 2 = f ( x + d x ) f ( x ) d x = ( x + d x ) 2 ( x ) 2 d x = x 2 + 2 x d x + ( d x ) 2 x 2 d x = 2 x d x + ( d x ) 2 d x = 2 x + d x