什么是微积分，概念入门

2024-01-31 12:27 由 Mysticbinary 发表于 #其他

微积分的现代作用性：
无论是手机制造公司，还是纳米研究公司，在技术上他们都需要基于现实情况去设计模型列微分方程，然后解出相关的微分方程，规划出好坏的标准线，求出值之后比对一下。

解微分方程的方法多种多样，包括：

这玩意就像中学学的因式分解，有多种方法可以达成分解的目的，使用什么类型的方法没有绝对，总的原则就是怎么简单、方便就怎么来。

研究范围

微积分可以分为微分和积分两部分。

微分学主要研究的是：

微积分的核心思想是通过极限过程来无限逼近函数在某一点的变化率（导数）或者一系列微小变化累积的结果（积分）。

积分学则

积分可以直观地理解为曲线下面积的计算，这是微积分中一个非常直观的概念。
积分还有一个作用就是，给出了变化率可以逆向得出总的量。

导数是微积分中的一个核心概念，它与微积分的关系可以类比为“工具与工具箱”的关系。
微积分是一个包含许多数学工具的“工具箱”，而导数则是这个工具箱中的“一个核心工具”。

导数是什么？

导数是用来描述函数在某一点上的变化率的工具。简答来说就是导数就是一个工具。

什么是变化率？
变化率就是在某一瞬间的速度。通过极限的过程，我们不断地缩短时间段，使得计算出来的平均速度越来越接近瞬时速度，最终得到的就是导数。

在数学上描述：
比如说一个函数 f(x) , 导数f'(x) 表示当x发生非常小的变化时（如x_1到x_2），描述了函数f(x)如何变化。

在图上描述：

这个变化率的概念在物理学中可以用来描述速度、描述加速度等，
在经济学中可以用来描述边际成本、边际收益等。

微积分则是研究：
如何通过极限过程来无限逼近这个变化率（也就是导数）；
如何通过无限累加微小变化（积分）来得到整体变化；

微积分包括了导数和积分两个主要部分，它们相互联系，共同构成了一个完整的理论体系。

好的，让我们用一个简单的比喻来理解导数和极限的关系。
如果说有一个工具可以帮助我们精确地计算出在某一瞬间的速度。这个工具通过极限的过程，我们不断地缩短时间段，使得计算出来的平均速度越来越接近瞬时速度，最终得到的就是导数。

想象你在爬山，你想知道在某一瞬间你上升的速度有多快。如果你只是随便看了一眼手表和高度计，然后粗略地计算了速度，那可能不太准确，因为山的坡度可能在不断变化，而且你也不是一直在以相同的速度爬升。

现在，想象你有一台超级精密的仪器，可以精确到毫秒和毫米级别。你可以记录下在非常短的时间段内你爬升的高度差（比如1秒钟内）。这个高度差除以时间差（1秒），就是你在这1秒钟内的平均速度。

但是，这个平均速度并不完全等同于你在某一瞬时的速度，因为即使是1秒钟，你也可能在加速或减速。为了得到更精确的瞬时速度，你需要让时间段越来越短，直到它趋近于零。这就是极限的概念：随着时间段无限缩小，平均速度就会无限接近于那一刻的瞬时速度。

导数就是这样一个工具，它可以帮助我们精确地计算出在某一瞬间的速度。通过极限的过程，我们不断地缩短时间段，使得计算出来的平均速度越来越接近瞬时速度，最终得到的就是导数。

所以，导数就像是通过一个超级精确的放大镜来看速度，而极限就是不断放大的过程，直到我们能够看到那一刻的速度。希望这个比喻能帮助你更好地理解导数和极限的概念。

套公式：

实际计算：
求： $$ h(t) = 3t^2 $$

当 t=2时，你的瞬时爬升速度是每小时12米。
注意：这里的“每小时”是指瞬时速度的单位，而不是说速度是在一个小时的时间跨度内测量的。

当得出变化率之后，可以逆向求出路程。